Dans les modèles linéaires mixtes, les ordonnées à l’origine et/ou les pentes peuvent varier en fonction d’un facteur donné (effet aléatoire ; par exemple, par lac et/ou par espèce).
Permettre aux ordonnées à l’origine et/ou pentes de varier selon certains facteurs (effets aléatoires) signifie simplement que vous supposez qu’ils proviennent d’une distribution normale. La moyenne et l’écart-type de cette distribution sont évalués en fonction de vos données. Les ordonnées à l’origine et pentes les plus probables de cette distribution sont ensuite ajustées par optimisation (ex. maximum de vraisemblance ou maximum de vraisemblance restreint).
Ordonnée à l’origine:
Si nous considérons d’abord l’espèce comme un effet aléatoire, nous pouvons estimer une moyenne et un écart-type pour la distribution combinée des ordonnées à l’origine des espèces plutôt que des ordonnées à l’origine séparées pour chaque espèce. La moyenne de cette distribution est le “modèle au niveau de l’espèce”.
Dans cet exemple, nous n’avons que trois espèces. En général, plus vous avez de niveaux pour un facteur donné, plus les paramètres de la distribution peuvent être estimés avec précision (trois peut être un peu faible pour l’estimation d’une moyenne et d’un écart type, mais cela permet d’obtenir des graphiques plus simples !) Notez que lorsque vous implémentez des LMM dans R, l’intercept dans le résumé est l’intercept du niveau de l’espèce (c’est-à-dire la moyenne de tous les ordonnées à l’origine aléatoires).
De même, si nous considérons le lac comme un effet aléatoire, seules la moyenne et la déviation standard de l’ordonnée à l’origine combinée du lac sont estimées. Cela vous évite d’avoir à estimer 6 paramètres différents de l’ordonnée à l’origine du lac, ce qui vous permet de gagner des degrés de liberté puisque moins d’estimations de paramètres sont nécessaires compte tenu de la quantité de données.
Pentes
Le même concept est utilisé pour faire varier la pente d’un facteur donné (effet aléatoire). Ceci est un peu plus difficile à visualiser que les ordonnées à l’origine.
Comme dans le cas des espèces, la moyenne et l’écart type des paramètres de pente sont estimés au lieu de trois pentes distinctes. Notez que lorsque vous implémentez les LMM dans R, la pente dans le résumé est la pente au niveau de l’espèce.
7.2 Tenir compte de la structure des données
Dans les modèles mixtes linéaires, les ordonnées à l’origine, pentes, et intervalles de confiance associés sont ajustés pour tenir compte de la structure des données.
Qu’arrive-t-il si j’ai peu d’échantillons (faible \(n\)) pour un niveau des facteurs? (Par exemple, si on a un faible \(n\) pour une espèce…)
Si une espèce ou un lac est peu représenté dans les données, le modèle va accorder plus d’importance au modèle groupé pour estimer l’ordonnée à l’origine et la pente de cette espèce ou de ce lac (Processus de « shrinkage »). Nous avons un design équilibré ici, donc ce n’est pas le cas dans notre exemple.
Idéalement, on devrait toujours avoir un minimum de \(n\) = 3 par niveau d’un facteur.
Comment évaluer l’impact d’un effet aléatoire sur le modèle?
Les intervalles de confiance des ordonnées à l’origine et des pentes générales sont ajustés pour tenir compte de la pseudo-replication basée sur le coefficient de corrélation intra-classe (CCI).
Le CCI correspond au ratio entre la variance d’un effet aléatoire (e.g. ordonnées à l’origine des espèces) et la variance totale. Ainsi, l’ICC décrit la proportion de la variance de la variable de réponse qui est attribuée à un effet aléatoire spécifique:
\[CCI = \frac{\sigma_{\alpha}^2}{\sigma_{\alpha}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2}\]Notez: La notation mathématique spécifique peut varier selon l’article/livre et selon la façon dont l’équation du modèle a été écrite.
Dans notre exemple, le CCI nous informe donc à quel point la position trophique moyenne entre chaque espèce ou chaque lac (c’est-à-dire les ordonnées à l’origine) varie.
CCI élevé
Le ratio de variance (CCI) est élevé puisque les espèces diffèrent grandement dans leur position trophique moyenne.
Les intervalles de confiance pour la pente et l’ordonnée à l’origine générale sont donc grandes.
CCI faible
Le ratio de variance (CCI) est faible car les espèces diffèrent faiblement dans leur position trophique moyenne.
Les intervalles de confiance pour la pente et l’ordonnée à l’origine générale sont donc petits.
Pour votre deuxième défi, réfléchissez à ces deux questions. Comment le CCI et les intervalles de confiance seront-ils affectés dans ces deux scénarios:
1. Si les positions trophiques des poissons ne varient pas entre les lacs?
2. Si les positions trophiques des poissons sont similaires dans chaque lac, mais différentes entre les lacs?
Défi 2 Solution:
1. CCI serait faible et les intervalles de confiance seraient plus petits
2. CCI serait élevé et les intervalles de confiance seraient plus larges
Chapitre 7 Comment fonctionnent les MLMs?
7.1 Les paramètres peuvent varier
Dans les modèles linéaires mixtes, les ordonnées à l’origine et/ou les pentes peuvent varier en fonction d’un facteur donné (effet aléatoire ; par exemple, par lac et/ou par espèce).
Permettre aux ordonnées à l’origine et/ou pentes de varier selon certains facteurs (effets aléatoires) signifie simplement que vous supposez qu’ils proviennent d’une distribution normale. La moyenne et l’écart-type de cette distribution sont évalués en fonction de vos données. Les ordonnées à l’origine et pentes les plus probables de cette distribution sont ensuite ajustées par optimisation (ex. maximum de vraisemblance ou maximum de vraisemblance restreint).
Ordonnée à l’origine:
Si nous considérons d’abord l’espèce comme un effet aléatoire, nous pouvons estimer une moyenne et un écart-type pour la distribution combinée des ordonnées à l’origine des espèces plutôt que des ordonnées à l’origine séparées pour chaque espèce. La moyenne de cette distribution est le “modèle au niveau de l’espèce”.
Dans cet exemple, nous n’avons que trois espèces. En général, plus vous avez de niveaux pour un facteur donné, plus les paramètres de la distribution peuvent être estimés avec précision (trois peut être un peu faible pour l’estimation d’une moyenne et d’un écart type, mais cela permet d’obtenir des graphiques plus simples !) Notez que lorsque vous implémentez des LMM dans
R, l’intercept dans le résumé est l’intercept du niveau de l’espèce (c’est-à-dire la moyenne de tous les ordonnées à l’origine aléatoires).De même, si nous considérons le lac comme un effet aléatoire, seules la moyenne et la déviation standard de l’ordonnée à l’origine combinée du lac sont estimées. Cela vous évite d’avoir à estimer 6 paramètres différents de l’ordonnée à l’origine du lac, ce qui vous permet de gagner des degrés de liberté puisque moins d’estimations de paramètres sont nécessaires compte tenu de la quantité de données.
Pentes
Le même concept est utilisé pour faire varier la pente d’un facteur donné (effet aléatoire). Ceci est un peu plus difficile à visualiser que les ordonnées à l’origine.
Comme dans le cas des espèces, la moyenne et l’écart type des paramètres de pente sont estimés au lieu de trois pentes distinctes. Notez que lorsque vous implémentez les LMM dans
R, la pente dans le résumé est la pente au niveau de l’espèce.7.2 Tenir compte de la structure des données
Dans les modèles mixtes linéaires, les ordonnées à l’origine, pentes, et intervalles de confiance associés sont ajustés pour tenir compte de la structure des données.
Qu’arrive-t-il si j’ai peu d’échantillons (faible \(n\)) pour un niveau des facteurs? (Par exemple, si on a un faible \(n\) pour une espèce…)
Si une espèce ou un lac est peu représenté dans les données, le modèle va accorder plus d’importance au modèle groupé pour estimer l’ordonnée à l’origine et la pente de cette espèce ou de ce lac (Processus de « shrinkage »). Nous avons un design équilibré ici, donc ce n’est pas le cas dans notre exemple.
Idéalement, on devrait toujours avoir un minimum de \(n\) = 3 par niveau d’un facteur.
Comment évaluer l’impact d’un effet aléatoire sur le modèle?
Les intervalles de confiance des ordonnées à l’origine et des pentes générales sont ajustés pour tenir compte de la pseudo-replication basée sur le coefficient de corrélation intra-classe (CCI).
Le CCI correspond au ratio entre la variance d’un effet aléatoire (e.g. ordonnées à l’origine des espèces) et la variance totale. Ainsi, l’ICC décrit la proportion de la variance de la variable de réponse qui est attribuée à un effet aléatoire spécifique:
\[CCI = \frac{\sigma_{\alpha}^2}{\sigma_{\alpha}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2}\] Notez: La notation mathématique spécifique peut varier selon l’article/livre et selon la façon dont l’équation du modèle a été écrite.
Dans notre exemple, le CCI nous informe donc à quel point la position trophique moyenne entre chaque espèce ou chaque lac (c’est-à-dire les ordonnées à l’origine) varie.
Le ratio de variance (CCI) est élevé puisque les espèces diffèrent grandement dans leur position trophique moyenne.
Les intervalles de confiance pour la pente et l’ordonnée à l’origine générale sont donc grandes.
CCI faibleLe ratio de variance (CCI) est faible car les espèces diffèrent faiblement dans leur position trophique moyenne.
Les intervalles de confiance pour la pente et l’ordonnée à l’origine générale sont donc petits.
Pour plus de détails sur le CCI:
Nakagawa et Schielzeth (2013) Nakagawa et al. (2017)
7.3 Défi 2
Pour votre deuxième défi, réfléchissez à ces deux questions. Comment le CCI et les intervalles de confiance seront-ils affectés dans ces deux scénarios:
1. Si les positions trophiques des poissons ne varient pas entre les lacs?
2. Si les positions trophiques des poissons sont similaires dans chaque lac, mais différentes entre les lacs?
Défi 2 Solution: